Indonesian translation of Does Mathematics Reflect Reality?, a chapter from Reason in Revolt
"Fakta bahwa pemikiran subjektif kita dan dunia objektif tunduk pada hukum-hukum yang sama, dan dengan demikian, juga, bahwa dalam analisa terakhirnya keduanya tidak dapat saling berkontradiksi dalam hasil-hasilnya, tapi harus bersesuaian, mutlak mengatur seluruh pemikiran teoritik kami." (Engels)
"Fakta bahwa pemikiran subjektif kita dan dunia objektif tunduk pada hukum-hukum yang sama, dan dengan demikian, juga, bahwa dalam analisa terakhirnya keduanya tidak dapat saling berkontradiksi dalam hasil-hasilnya, tapi harus bersesuaian, mutlak mengatur seluruh pemikiran teoritik kami." (Engels)
Isi dari "matematika murni" pada akhirnya diturunkan dari dunia material. Ide bahwa kebenaran dalam matematik adalah sejenis pengetahuan yang khusus, yang inheren dalam dirinya sendiri atau merupakan hasil ilham ilahi, tidak layak mendapatkan perhatian yang serius. Matematika menangani hubungan-hubungan kuantitatif dari dunia nyata. Apa yang disebut "aksiom" baru nampak terbukti dalam dirinya sendiri setelah melalui masa-masa panjang pengamatan dan pengalaman atas realitas. Sayangnya, fakta ini kelihatannya telah dilupakan oleh banyak ahli matematika teoritik jaman sekarang yang menipu diri mereka dengan pemikiran bahwa pengetahuan "murni" mereka sama sekali tidak memiliki hubungan apapun dengan dunia material yang kasar di sekeliling mereka. Ini adalah satu contoh yang jelas dari konsekuensi-konsekuensi negatif dari pembagian kerja yang dijalankan ke tingkat ekstrim.
Sejak jaman Pythagoras, klaim-klaim yang paling megah telah dibuat atas nama matematika, yang telah digambarkan sebagai ratu dari segala ilmu pengetahuan, kunci ajaib yang membuka semua pintu ke jagad raya. Setelah melepaskan diri dari dunia fisik, matematika kelihatannya telah terbang melayang ke surga, di mana ia mendapat anugerah untuk berlaku bak dewa, tidak mematuhi aturan apapun kecuali aturannya sendiri. Maka, ahli matematik terkemuka Henri Poincaré, di tahun-tahun pertama abad ini, sanggup membuat klaim bahwa hukum-hukum ilmu pengetahuan tidak berhubungan dengan dunia nyata sama sekali, tapi merupakan satu konvensi acak yang ditakdirkan mendorong satu penggambaran yang lebih mudah dan "berguna" atas gejala yang sedang dibahas. Beberapa fisikawan teoritik tertentu sekarang telah menyatakan dengan terbuka bahwa kesahihan model matematik mereka tidaklah tergantung pada pembenaran yang diperoleh secara empirik, melainkan semata pada kualitas estetik [keindahan, keserasian] dari persamaan-persamaannya.
Teori-teori matematika telah, di satu pihak, merupakan sumber dari satu kemajuan yang dahsyat dalam ilmu pengetahuan, dan, di pihak lain, merupakan sumber dari sejumlah besar kesalahan dan kesalahpahaman yang telah, dan masih terus memiliki konsekuensi-konsekuensi negatif yang mendasar. Kesalahan sentralnya adalah upaya untuk mereduksi proses alam yang kompleks, dinamis dan penuh kontradiksi ini menjadi rumus-rumus yang statis, kuantitatif dan teratur. Alam disajikan dalam cara yang formalistik, seperti satu titik berdimensi tunggal, yang kemudian menjadi garis, kemudian menjadi bidang datar, menjadi kubus, menjadi bola, dan seterusnya. Namun, ide bahwa matematik murni adalah pemikiran yang mutlak, tidak dicemari oleh persinggungan dengan benda-benda material, adalah hal yang jauh sekali dari kebenaran. Kita menggunakan sistem desimal, bukan karena deduksi logis atau "kehendak bebas", tapi karena kita memiliki 10 jari. Kata "digital" datang dari kata Latin untuk jari. Dan sampai hari ini seorang anak sekolah akan dengan diam-diam menghitung jarinya yang material di bawah mejanya yang material, sebelum sampai pada jawaban-jawaban atas soal-soal matematik yang abstrak. Dengan melakukan hal itu, si anak tanpa sadar telah menapak kembali cara yang ditempuh umat manusia ketika baru mulai mengenal hitungan.
Asal-usul material dari abstraksi matematik bukanlah rahasia bagi Aristoteles: "Para ahli matematika," tulisnya, "menyelidiki abstraksi. Ia mengabaikan segala kualitas yang dapat diraba seperti berat, kerapatan, suhu, dan lain-lain, dan hanya meninggalkan hal-hal yang kuantitatif dan kontinyu (dalam dimensi tunggal, dua atau tiga) dan ciri-cirinya yang hakiki." Di tempat lain ia menulis: "Objek matematika tidak dapat hadir terpisah dari benda-benda yang dapat diraba (yaitu, material)." Dan "Kita tidak memiliki pengalaman tentang apapun yang terdiri dari garis atau bidang atau titik, seperti yang seharusnya kita miliki jika hal-hal ini adalah zat yang material. Garis, dll, mungkin lebih dahulu dalamdefinisi daripada benda, tapi mereka tidaklah lebih dahulu dalamkeberadaan."[i]
Perkembangan dari matematik adalah hasil dari kebutuhan manusia yang sungguh material. Manusia-manusia pertama hanya memiliki sepuluh bilangan, persis karena ia menghitung, seperti seorang anak kecil, dengan jarinya. Pengecualian pada orang-orang Maya di Amerika Tengah yang memiliki sistem numerik berdasarkan duapuluh, mungkin karena mereka menghitung juga jari kaki mereka. Hidup dalam masyarakat pemburu-pengumpul yang bersahaja, tanpa uang atau kepemilikan pribadi, nenek moyang kita tidak memiliki kebutuhan untuk bilangan-bilangan yang lebih besar. Untuk memikirkan bilangan yang lebih besar dari sepuluh, ia begitu saja menggabungkan beberapa bilangan sepuluhan yang dihubungkan melalui jarinya. Maka, satu lebihnya dari sepuluh dinyatakan sebagai "sepuluh-satu" (undecim, dalam bahasa Latin, atau ein-lifon - "satu lebihnya" dalam bahasa Teutonik purba, yang menjadieleven dalam bahasa Inggris). Semua bilangan lain hanyalah kombinasi dari bilangan sepuluh yang awal, dengan pengecualian lima tambahan lainnya - seratus, seribu, sejuta, semilyar dan setrilyun.
Asal-usul sejati bilangan telah dipahami oleh filsuf materialis besar dari Inggris di abad ke-17 Thomas Hobbes: "Dan kelihatannya, ada saat di mana nama-nama bilangan itu tidak digunakan; dan manusia bersusah-payah menerapkan jari-jari dari satu atau kedua tangan, kepada benda-benda yang ingin mereka hitung; dan dari situ mereka maju, bahwa kini kata-kata kita untuk bilangan bukan apa-apa selain sepuluh, di bangsa manapun, dan di beberapa bangsa lain lima, lalu mulai lagi dari awal."[ii]
Alfred Hooper menjelaskan "Hanya karena manusia-manusia primitif menciptakan bilangan dan kata bilangan yang sama dengan jumlah jari yang dimilikinya, skala bilangan kita sekarang adalah skala desimal, yaitu skala yang didasarkan pada sepuluh, dan terdiri dari pengulangan tak terhingga dari kata-bilangan sepuluh yang pertama.... Jika manusia diberi duabelas jari bukannya sepuluh, tentu kita akan memiliki bilangan duodesimal saat ini, berdasarkan duabelas, terdiri dari pengulangan tak berhingga dari kata bilangan dua belas yang dasar."[iii] Nyatanya, sistem duodesimal memiliki keuntungan dibanding sistem desimal. Sementara sepuluh hanya dapat dibagi genap oleh dua dan lima, duabelas dapat dibagi genap oleh dua, tiga, empat dan enam.
Bilangan Romawi adalah gambar yang mewakili jari. Mungkin simbol untuk lima mewakili jarak yang terjadi antara ibu jari dan jari lainnya. Kata "calculus" (dari mana kita menurunkan kata Inggris "calculate") berarti "kerikil" dalam bahasa Latin, berhubungan dengan metode penghitungan manik batu pada abakus. Ini semua, dan contoh-contoh lain yang tak berhingga banyaknya dapat menggambarkan bagaimana matematika tidaklah muncul dari penggunaan pikiran manusia secara bebas, tapi merupakan hasil dari sebuah proses berkepanjangan dari evolusi sosial, percobaan dan kegagalan, pengamatan dan eksperimen, yang perlahan-lahan terpisah menjadi satu tubuh pengetahuan yang kelihatannya memiliki sifat yang abstrak. Mirip dengan itu, sistem pengukuran kita atas berat dan panjang telah diturunkan dari objek material pula. Asal-usul dari unit panjang Inggris, foot [kaki], tidak perlu dijelaskan lagi, seperti kata yang digunakan bahasa Spanyol untuk inci, "pulgada" yang berarti ibu jari. Asal-usul dari simbol matematik "+" dan "-" tidak memiliki hubungan apapun dengan matematika. Keduanya adalah tanda yang digunakan di Abad Pertengahan oleh para pedagang untuk menghitung kelebihan atau kekurangan jumlah barang di gudang-gudang.
Kebutuhan untuk membangun tempat tinggal untuk melindungi diri sendiri dari berbagai unsur alam memaksa manusia-manusia pertama untuk menemukan cara yang paling baik dan praktis untuk memotong kayu sehingga ujungnya dapat dilekatkan satu sama lain. ini berarti penemuan sudut siku dan penyiku tukang kayu. Kebutuhan untuk membangun rumah pada tanah yang datar membawa kita pada penemuan alat pengukur kedataran seperti yang digambarkan pada makam-makam Mesir dan Romawi, yang terdiri dari tiga potong kayu yang digabungkan dalam sebuah segitiga sama sisi, dengan seutas tali diikatkan pada puncaknya. Alat yang sederhana dan praktis itu digunakan untuk membangun piramid. Para pendeta Mesir mengumpulkan sejumlah besar pengetahuan matematik yang diturunkan, pada akhirnya, dari aktivitas praktis semacam itu.
Bahkan kata "geometri" mengungkapkan asal-usulnya yang praktis. Ia berarti "pengukuran bumi", itu saja. Apa yang dilakukan oleh orang-orang Yunani adalah memberi satu penyataan teoritik yang lengkap terhadap penemuan-penemuan ini. Namun, dengan menyajikan teorema sebagai hasil murni dari deduksi logika, mereka telah mengibuli diri sendiri dan generasi-generasi mendatang. Pada akhirnya, matematika diturunkan dari realitas material, dan, sungguh, tidak dapat diterapkan jika bukan demikian halnya. Bahkan teorema Pythagoras yang terkenal itu, yang dikenal oleh semua murid sekolah, bahwa panjang dari sebuah kubus yang digambar pada sisi terpanjang dari sebuah segitiga adalah sama dengan jumlah kubus-kubus yang digambar pada kedua sisi yang lain, telah ditemukan terlebih dahulu lewat praktek oleh orang-orang Mesir.
Kontradiksi dalam Matematika
Engels, dan Hegel sebelum dia, menunjukkan berbagai kontradiksi yang bertumpuk dalam matematika. Halnya selalu demikian, sekalipun klaim dari para ahli matematik tentang kesempurnaan dan kesucian tak bernoda dari "ilmu agung" mereka. Cara ini dimulai oleh para pengikut Pythagoras, dengan paham mereka yang mistik tentang Angka, dan keserasian jagad raya. Walaupun demikian, mereka dengan cepat menemukan bahwa jagad matematik mereka yang serasi dan teratur dihantui oleh kontradiksi, yang penyelesaian-penyelesaiannya telah membawa mereka ke jurang keputusasaan. Contohnya, mereka menemukan bahwa mustahil bagi kita untuk menyatakan panjang diagonal dari sebuah persegi panjang dalam bentuk bilangan kuadrat.
Para pengikut Pythagoras yang belakangan menemukan bahwa banyak bilangan, seperti akar kuadrat dari dua, yang tidak dapat dinyatakan dalam bilangan. Ia adalah "bilangan irasional". Namun, sekalipun akar dua tidak dapat dinyatakan dengan pecahan sekalipun, ia tetap berguna untuk menemukan panjang sisi dari sebuah segitiga. Matematik masa kini mengandung sekawanan besar hewan-hewan aneh itu, yang masih belum terjinakkan, sekalipun selalu diupayakan untuk mendomestifikasi mereka, tapi, jika kita menerima mereka sebagaimana adanya, mereka tetap memberikan kegunaan yang besar bagi kita. Maka kita memiliki bilangan irasional, bilangan transfinit, yang semuanya menunjukkan ciri-ciri yang aneh dan kontradiktif, dan semuanya tidak dapat diabaikan dalam pekerjaan-pekerjaan ilmu pengetahuan modern.
Pi (p) yang misterius itu telah dikenal baik oleh orang Yunani kuno, dan seluruh generasi anak-anak masa kini yang telah tahu menghubungkan bilangan itu sebagai rasio antara keliling dan diameter dari sebuah lingkaran. Namun, anehnya, nilai tepat dari bilangan ini tidak akan pernah dapat ditemukan. Archimedes menghitung nilai kira-kira dari bilangan ini dengan satu metode yang dikenal sebagai "exhaustion". Nilainya berada antara 3,14085 dan 1, 14286. Tapi jika kita mencoba menuliskan nilai persisnya, kita akan mendapatkan nilai yang aneh: p = 3,14159265358979323846264338327950... dan seterusnya sampai tak berhingga. Pi, yang dikenal sebagai bilangan transendental, mutlak perlu untuk menemukan keliling lingkaran tapi tidak dapat dinyatakan sebagai solusi untuk satu persamaan aljabar. Lalu kita memiliki akar kuadrat dari minus satu, yang bukan merupakan bilangan aritmatik sama sekali, para ahli matematika merujuknya sebagai "bilangan imajiner", karena tidak ada bilangan riil yang, jika dikalikan dengan dirinya sendiri, akan menghasilkan minus satu, karena dua bilangan minus akan menghasilkan bilangan plus. Ini adalah satu mahluk yang sangat aneh - tapi sama sekali bukan khayalan belaka, sekalipun ia memanggul nama "imajiner". Dalam Anti-Dühring, Engels menjelaskan:
"Ada satu kontradiksi bahwa sebuah besaran yang negatif dapat merupakan kuadrat dari bilangan tertentu, karena tiap besaran negatif yang dikalikan dengan dirinya sendiri akan menghasilkan kuadrat yang positif. Akar kuadrat dari minus satu, dengan demikian, bukan hanya sebuah kontradiksi, tapi merupakan kontradiksi yang absurd, absurditas sejati. Namun demikian, akar kuadrat dari -1 dalam banyak kasus merupakan hasil yang niscaya dari sebuah operasi matematik yang tepat. Lebih jauh lagi, bagaimana mungkin matematika - tingkat tinggi atau rendah - bisa ada jika ia tidak diperkenankan bekerja dengan akar minus satu?"[iv]
Pernyataan Engels semakin terdengar tepat saat ini. Kombinasi kontradiktif antara plus dan minus memainkan peran yang mutlak krusial dalam mekanika kuantum, di mana ia muncul dalam sejumlah besar persamaan, yang merupakan hal mendasar bagi ilmu pengetahuan modern.
Bahwa matematika melibatkan kontradiksi yang mengejutkan semacam ini bukanlah sesuatu yang dapat diragukan. Inilah yang ditulis Hoffman tentang hal itu:
"Bahwa rumus semacam itu dapat memiliki hubungan dengan dunia eksperimen yang ketat yang merupakan dunia fisika itu sendiri adalah hal yang sulit dipercaya. Bahwa terdapat landasan yang sangat dalam pada fisika baru, dan bahwa hal itu dapat menjelajah jauh lebih mendasar daripada segala sesuatu yang ada sebelumnya menuju inti terdalam dari ilmu pengetahuan dan metafisika adalah hal yang sama menakjubkannya seperti pertama kali orang menemukan doktrin bahwa bumi ini bulat."[v]
Di masa kini, penggunaan apa yang disebut bilangan "imajiner" telah dianggap sesuatu yang wajar. Akar kuadrat dari minus satu digunakan untuk serangkaian operasi yang perlu, seperti konstruksi sirkuit listrik. Bilangan transfinit, pada gilirannya, digunakan untuk memahami sifat waktu dan ruang. Ilmi pengetahuan modern, khususnya mekanika kuantum, tidak akan dapat dikerjakan tanpa penggunaan konsepsi matematika yang jelas-jelas kontradiktif sifatnya. Paul Dirac, salah satu pendiri mekanika kuantum, menemukan bilangan "Q", yang melanggar segala aturan matematik normal yang mengatakan bahwa a dikalikan b adalah sama dengan b dikalikan a.
Apakah Ketidakberhinggaan Benar Ada?
Ide tentang ketakberhinggaan sangat sulit dipahami, karena, sekilas hal itu berada di luar pengalaman manusia. Pikiran manusia terbiasa menangani hal-hal yang berhingga, yang dinyatakan dalam ide-ide yang berhingga. Segala sesuatu memiliki awal dan akhir. Ini adalah pemikiran yang akrab dengan kita. Tapi apa yang akrab tidak harus selalu benar. Sejarah pemikiran matematik memiliki beberapa pelajaran penting tentang hal ini. Untuk waktu yang lama, para ahli matematika, setidaknya di Eropa, berusaha mengusir konsep ketakberhinggaan. Alasan mereka untuk melakukan hal ini sangat jelas. Selain adanya kesulitan untuk mengonsepkan ketakberhinggaan, dalam makna yang murni matematik hal ini merupakan satu kontradiksi. Matematika berurusan dengan besaran yang berhingga. Ketakberhinggaan, karena sifat dasarnya, tidak akan dapat diukur atau dihitung. Hal ini berarti bahwa terdapat konflik yang riil di antara keduanya. Untuk alasan ini, para ahli matematika besar dari jaman Yunani kuno menganggap ketakberhinggaan sebagai sebuah wabah. Walau demikian, sejak awal filsafat, orang telah berspekulasi tentang ketakberhinggaan. Anaximander (610-547 SM) mengambil hal ini sebagai basis dari filsafatnya.
Paradoks Zeno (hidup ± 450 SM) menunjuk adanya kesulitan yang inheren dalam ide kuantitas yang kecil tak berhingga sebagai penyusun besaran kontinyu dengan mencoba membuktikan bahwa pergerakan ke arah kecil tak berhingga adalah satu khayalan. Zeno "membuktikan secara terbalik" pergerakan itu dengan cara lain. Ia berpendapat bahwa satu benda yang bergerak, sebelum mencapai satu titik tertentu, harus pertama-tama menjalani separuh jarak. Tapi, sebelum ini, ia harus juga telah melampaui setengah dari separuh jarak itu, dan seterusnya sampai tak berhingga. Maka, ketika dua benda bergerak dengan jurusan yang sama, dan yang satu, yang berada pada satu jarak tertentu di belakang yang lain, bergerak lebih cepat dari benda di depannya itu, kita menganggap bahwa ia akan menyalip benda di depannya itu. Tidak demikian, kata Zeno. "Yang lebih lambat tidak akan dapat disalip oleh yang lebih cepat." Inilah paradoks tentang Achilles si Gesit yang terkenal itu. Bayangkan satu lomba lari antara Achilles dengan seekor kura-kura. Jika Achilles dapat berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura itu, sedangkan kura-kura itu mendapat keuntungan berada 1000 meter di depan Achilles. Ketika Achilles telah menempuh 1000 meter, kura-kura itu akan berada 100 meter di depannya; ketika Achilles telah menempuh 100 meter itu, kura-kura itu akan berada 1 meter di depannya; ketika Achilles menempuh satu meter itu, kura-kura akan berada sepersepuluh meter di depannya, dan terus demikian sampai tak berhingga.
Paradoks Zeno tidaklah membuktikan bahwa pergerakan adalah sebuah ilusi, atau bahwa Achilles, dalam praktek, tidak akan pernah menyalip seekor kura-kura, tapi paradoks itu mengungkapkan dengan gemilang keterbatasan dari jenis pemikiran yang kini kita kenal sebagai logika formal. Upaya untuk menyingkirkan kontradiksi dari realitas, seperti yang dilakukan Eleatics, niscaya akan membawa kita pada segala macam paradoks yang tak terpecahkan, atau antinomi, seperti yang disebut Kant di belakang hari. Untuk membuktikan bahwa sebuah garis tidak terdiri dari sejumlah tak berhingga titik, Zeno mengklaim bahwa, jika benar demikian, maka Achilles tidak akan pernah menyalip kura-kura itu. ada satu masalah logika yang nyata di sini. Seperti yang dijelaskan oleh Alfres Hooper:
"Paradoks ini masih membingungkan bahkan mereka yang tahu bahwa kini dimungkinkan untuk menemukan jumlah dari deret bilangan tak berhingga yang membentuk satu progresi geometris dengan rasio umum kurang dari 1, dan yang bergerak secara berurutan semakin lama semakin kecil dan 'berkonvergensi' pada satu nilai batas."[vi]
Nyatanya, Zeno telah mengungkapkan satu kontradiksi dalam pemikiran matematik yang harus menunggu dua ribu tahun untuk diselesaikan. Kontradiksi ini berhubungan dengan penggunaan bilangan tak hingga. Sejak Pythagoras sampai penemuan kalkulus diferensial dan integral di abad ke-17, para ahli matematika berusaha keras untuk menghindari penggunaan konsep ketakberhinggaan. Hanya Archimedes, jenius besar itu, yang berani mendekati persoalan ini, tapi tetap menghindarinya dengan menggunakan metode memutar. Para penganut teori atom yang mula-mula, dimulai dari Leukippus, yang mungkin salah satu murid Zeno, menyatakan bahwa atom "tidak dapat dibagi dan tidak berhingga jumlahnya, bergerak tanpa henti dalam ruang hampa, yang luasnya tak berhingga."
Fisika modern menerima bahwa jumlah saat antara dua detik adalah tak berhingga, seperti jumlah saat dalam satu rentang waktu yang tidak memiliki awal maupun akhir. Jagad ini sendiri terdiri dari rantai sebab-akibat yang tak berhingga, terus-menerus berubah, bergerak dan berkembang. Ini tidak ada miripnya dengan paham ketakberhinggaan yang kasar dan sepihak yang terkandung dalam deret tak berhingga dari aritmatik sederhana, di mana "ketakberhinggaan" selalu "dimulai" dengan bilangan 1! Inilah apa yang oleh Hegel disebut "Bad Infinity".
Ahli matematika Yunani terbesar Archimedes (287-212 SM) menggunakan geometri tak terbagi dengan efektif, tapi ia menganggap ide tentang besar atau kecil tak berhingga sebagai ide yang tidak memiliki landasan logis. Seperti itu pula, Aristoteles berpendapat bahwa, karena satu benda harus memiliki bentuk, ia harus berhingga, dan dengan demikian tidak dapat menjadi tak berhingga. Sambil menerima ada dua macam "potensi" ketakberhinggaan - penambahan berturutan dalam aritmetika (besar tak berhingga), dan pembagian berturutan dalam geometri (kecil tak berhingga) - ia tetap berpolemik melawan para ahli geometri yang berpandangan bahwa satu potong garis terdiri dari titik, yang tak terbagi, yang jumlahnya tak berhingga.
Penyangkalan terhadap ketakberhinggaan merupakan halangan nyata bagi perkembangan matematik Yunani klasik. Sebaliknya, para ahli matematika India tidak memiliki kesulitan semacam ini dan menghasilkan perkembangan-perkembangan besar, yang, melalui orang-orang Arab, kemudian memasuki Eropa. Upaya untuk menyingkirkan kontradiksi dari pemikiran, sesuai dengan skema-skema logika formal mengganduli perkembangan matematika.
Tapi jiwa-jiwa petualang dari jaman Renaisans membuka pikiran manusia pada kemungkinan-kemungkinan baru yang, kenyataannya, tak berhingga. Dalam bukunya The New Science (1638), Galileo menunjukkan bahwa tiap integer (bilangan bulat) hanya memiliki satu kuadrat sempurna, dan tiap kuadrat sempurna adalah kuadrat dari hanya satu integer positif. Maka, dalam makna tertentu, terdapatlah sejumlah kuadrat sempurna sebanyak jumlah integer positif. Ini segera membawa kita pada kontradiksi logika. Ia berkontradiksi dengan aksioma bahwa yang keseluruhan selalu lebih besar dari apa yang menyusunnya, justru di sini tidak semua integer positif merupakan kuadrat sempurna, dan tidak semua kuadrat sempurna adalah bagian dari integer positif.
Ini hanya salah satu dari sejumlah besar paradoks yang telah menghantui matematik sejak Renaisans ketika orang mulai menempatkan pemikiran dan asumsi-asumsinya ke dalam analisis kritis. Sebagai hasilnya, perlahan-lahan, terus dibayangi oleh perlawanan keras kepala dari kepala-kepala yang konservatif, satu demi satu aksiom-aksiom yang nampaknya tak akan terpatahkan dan merupakan "kebenaran kekal" matematik mulai tergulingkan. Kita sampai pada titik di mana seluruh bangunan matematik dibuktikan tidak kokoh dan membutuhkan rekonstruksi yang menyeluruh di atas landasan yang lebih solid, tapi sekaligus lebih lentur, yang sekarang ini sedang diusahakan, yang niscaya akan memiliki ciri yang dialektik.
Kalkulus
Banyak dari apa yang disebut aksoma dari Yunani klasik kini telah digerogoti oleh penemuan kalkulus diferensial dan integral, terobosan terbesar dalam matematika sejak Abad Pertengahan. Salah satu aksioma dari geometri bahwa garis lurus dan kurva adalah dua hal yang bertentangan mutlak, dan keduanya bersifat incommensurable, yaitu, yang satu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain. Namun, ujung-ujungnya, garis lurus dan kurva dalam kalkulus diferensial dianggap sebagai hal yang sama. Seperti yang ditunjukkan Engels, dasar untuk hal ini telah diletakkan lama sebelum hal itu dikembangkan oleh Leibniz dan Newton: "Titik balik dalam matematika adalah besaran variabel dari Descartes. Bersamanya datanglah gerak dan dengan itudialektika dalam matematik, dan sekaligus juga, keniscayaan akan munculnya kalkulus integral dan diferensial, yang kemudian dimulai segera, dan yang pada keseluruhannya diselesaikan oleh Newton dan Leibniz, bukannya ditemukan oleh mereka."[vii]
Penemuan kalkulus membuka cakrawala yang sama sekali baru bagi matematik dan ilmu pengetahuan secara umum. Sekali tabu-tabu dan pamali lama disingkirkan, para ahli matematika dibebaskan untuk menyelidiki wilayah-wilayah yang sama sekali baru. Tapi mereka menggunakan bilangan besar dan kecil tak berhingga secara tidak kritis, tanpa memandang implikasi-implikasi logis dan konseptual mereka. Penggunaan kuantitas yang besar dan kecil tak berhingga dianggap sebagai semacam "fiksi yang berguna", yang, untuk beberapa alasan yang sama sekali tidak jelas, selalu memberikan hasil yang benar. Dalam bagian Quantity dalam jilid pertama The Science of Logic, Hegel menunjukkan bahwa, sekalipun dimasukkannya bilangan tak berhingga dalam matematika membuka cakrawala baru bagi matematik, dan membawa pada hasil-hasil yang penting, bilangan-bilangan itu tetap tidak terjelaskan, karena mereka tetap berbenturan dengan tradisi dan metode yang ada:
"Tapi dalam metode matematika, matematik tak berhingga menemukan satu kontradiksi yang radikal justru terhadap metode tersebut yang merupakan cirinya sendiri, dan yang merupakan sandarannya selaku sebuah ilmu. Karena penghitungan bilangan tak berhingga merupakan, dan menuntut, prosedur yang harus ditolak sepenuhnya oleh matematik ketika ia bekerja dengan besaran yang berhingga, dan pada saat yang sama ia memperlakukan besaran tak berhingga ini sebagai Quanta yang berhingga, berusaha menerapkan pada bilangan tak berhingga itu metode yang sama dengan apa yang sahih digunakan untuk yang berhingga."[viii]
Hasilnya adalah satu kontroversi yang lama tentang kesahihan kalkulus. Berkeley menyangkal kalkulus sebagai satu kontradiksi terbuka terhadap hukum-hukum logika. Newton, yang menggunakan metode baru itu di dalam bukunya Principia, merasa terpaksa menyembunyikan fakta itu dari publik, karena takut akan adanya reaksi yang bermusuhan terhadap metodenya. Di awal abad ke-18, Bernard Fontenelle akhirnya mendapat keberanian untuk menyatakan secara kategoris bahwa sebagaimana halnya terdapat sejumlah tak berhingga dari bilangan natural, satu bilangan tak berhingga hadir senyata bilangan berhingga, dan bahwa kebalikan dari besar tak berhingga adalah kecil tak berhingga. Namun, ia telah dilawan oleh Georges de Buffon, yang menolak ketakberhinggaan karena dianggapnya sebagai khayalan belaka. Bahkan kecerdasan D'Alambert tidak dapat membantunya memahami dan menerima ide ini. Dalam artikel yang termuat dalam bukunya Encyclopaedia tentang Diferensial, ia menyangkal adanya ketakberhinggaan, kecuali dalam makna negatif sebagai limit dari satu kuantitas berhingga.
Komsep "limit" pada nyatanya dimasukkan sebagai satu upaya untuk memutari kontradiksi yang inheren dalam ketakberhinggaan. Hal ini khususnya populer di abad ke-19, ketika para ahli matematika tidak lagi mau sekedar menerima kalkulus tanpa berpikir lagi, seperti yang dengan senang hati dilakukan oleh generasi sebelumnya. Kalkulus diferensial mempostulatkan keberadaan besaran yang kecil tak berhingga dengan tingkatan yang bermacam-macam -turunan pertama, turunan kedua dan seterusnya sampai tak berhingga. Dengan memasukkan konsep "limit" mereka setidaknya menciptakan satu tampilan bahwa ketakberhinggaan sebenarnya tidak terlibat di sini. Niatnya adalah untuk membuat ide tentang ketakberhinggaan menjadi subjektif, untuk menyangkal objektivitasnya. Peubah-peubah disebut sebagai 'kecil tak berhingga potensial', yaitu bahwa mereka adalah kurang dari kuantitas yang diperbincangkan, atau sebagai 'besar tak berhingga potensial', dalam makna bahwa mereka lebih besar dari besaran yang ditentukan sebelumnya. Dengan kata lain, "sebesar atau sekecil yang Anda mau!" Trik ini tidaklah menghilangkan kesulitannya, tapi hanya menyediakan satu koteka untuk menutup kontradiksi logis yang terlibat dalam perhitungan kalkulus.
Ahli matematika besar Jerman, Karl Frederick Gauss (1777-1855) bersedia menerima bilangan tak berhingga, namun ia menyatakan kengeriannya pada ide tentang ketakberhinggaan yang riil. Namun, rekan sejamannya Bernhard Bolzano, berangkat dari paradoks Galileo, telah memulai satu telaah serius tentang paradoks yang implisit dalam ide tentang "ketakberhinggaan yang terselesaikan". Karya ini kemudian dikembangkan lebih lanjut oleh Richard Dedekind (1813-1914) yang mencirikan bilangan tak berhingga sebagai sesuatu yang positif, dan menunjukkan bahwa, pada kenyataannya, himpunan bilangan positif dapat dianggap sebagai negatif (yaitu, sebagai suatu himpunan yang bukan tak berhingga). Akhirnya, George Cantor (1845-1918) berjalan jauh dari definisi himpunan tak berhingga dan mengembangkan satu aritmatika yang sama sekali baru yang disebut "bilangan transfinit". Paper Cantor, yang dimulai di tahun 1870, adalah sebuah ulasan tentang seluruh sejarah bilangan tak berhingga, dimulai dari Democritus. Dari sini, dikembangkanlah satu cabang yang sama sekali baru dalam matematika, yang didasarkan atas teori himpunan.
Cantor menunjukkan bahwa titik-titik dalam satu area, seberapapun besarnya, atau dalam sebuah volume atau sebuah kontinuum yang berdimensi lebih besar lagi, dapat selalu dipadankan dengan salah satu titik dalam sepotong garis, tidak peduli berapa kecilnya garis itu. Sebagaimana halnya mustahil ada satu bilangan berhingga yang terakhir, demikian pula mustahil ada satu bilangan transfinit terakhir. Maka, setelah Cantor, mustahil ada argumen mengenai posisi sentral dari bilangan tak berhingga dalam matematika. Lebih jauh lagi, karyanya mengungkapkan serangkaian paradoks yang telah menghantui matematika modern, dan yang masih harus dipecahkan.
Semua analisis ilmiah modern bersandar pada konsep kontinuitas, yakni sama dengan mengatakan, bahwa di antara dua titik di dalam ruang, terdapat sejumlah tak berhingga titik yang lain, dan juga bahwa, antara dua titik dalam waktu terdapat sejumlah tak berhingga saat lain. Tanpa membuat asumsi-asumsi ini, matematika modern tidak dapat berfungsi, itu saja. Namun konsep yang kontradiktif macam ini pastilah akan ditolak dengan jijik, setidaknya dipandang dengan curiga, oleh generasi terdahulu. Hanya kejeniusan dialektik Hegel (yang kebetulan juga seorang ahli matematika besar) yang sanggup mengantisipasi semua ini dalam analisisnya tentang yang berhingga dan yang tak berhingga, ruang, waktu dan gerak.
Namun, sekalipun bukti-bukti ini bertumpuk, banyak ahli matematika modern masih berkeras menyangkal objektivitas ketakberhinggaan, walaupun mereka menerima kesahihannya sebagai satu gejala matematik "murni". Pembagian semacam itu sama sekali tidak masuk nalar. Karena kalau matematika tidak mencerminkan apa yang ada di dunia objektif, riil, apa lagi gunanya matematika itu? Ada satu kecenderungan tertentu dalam matematika modern (dan, melalui perluasan, menakjubkan, juga dalam fisika teoritik) untuk kembali bersandar pada idealisme dalam bentuknya yang paling mistis, menyatakan bahwa kesahihan satu persamaan adalah murni persoalan nilai estetik, tanpa rujukan apapun pada dunia material.
Fakta bahwa operasi matematika dapat diterapkan pada dunia nyata, dan mendapatkan hasil yang bermakna menunjukkan bahwa terdapat satu afinitas [kecenderungan untuk saling menarik] antara keduanya. Kalau tidak demikian, matematika tidak akan memiliki kegunaan praktis, padahal jelas matematika memiliki kegunaan itu. Alasan mengapa ketakberhinggaan dapat digunakan, dan harus digunakan, dalam matematika modern adalah karena ia berhubungan dengan keberadaan ketakberhinggaan dalam alam itu sendiri, yang telah menyeruak ke dalam matematika, seperti tamu tak diundang, sekalipun terdapat segala macam upaya untuk memalang pintu agar ia tak dapat masuk.
Alasan mengapa para ahli matematika membutuhkan waktu yang demikian lama untuk menerima ketakberhinggaan dijelaskan dengan sangat baik oleh Engels:
"Jelas bahwa sebuah ketakberhinggaan yang memiliki satu akhir tapi tanpa satu awal tidak lebih atau tidak kurang tak berhingga dari sesuatu yang memiliki awal tapi tidak memiliki akhir. Pemahaman dialektik yang sekecil apapun akan memberitahu Herr Dühring bahwa awal dan akhir sebenarnya adalah hal yang selalu hadir bersamaan, seperti Kutub Utara dan Kutub Selatan, dan bahwa jika akhir dibuang, maka awal akan menjadi akhir - satu-satunya akhir yang dimiliki oleh satu deret, demikian juga sebaliknya. Seluruh tipuan ini menjadi mustahil selain karena penggunaan matematik dalam bekerja dengan deret tak hingga. Karena dalam matematik kita harus mulai dari yang tertentu, yang berhingga, supaya dapat mencapai yang tak tentu, yang tak berhingga, semua deret matematik, positif dan negatif, harus dimulai dengan 1 atau mereka mustahil dapat digunakan untuk perhitungan. Tapi kebutuhan logis bagi ahli matematik sama sekali bukan satu hukum wajib bagi dunia nyata."[ix]
Krisis Matematika
Sejak kita duduk di bangku sekolah kita diajari untuk melihat matematika, dengan "aksiom-aksiom" yang tidak perlu lagi dibuktikan kebenarannya dan deduksi logisnya sebagai kuasa tertinggi dalam keakuratan ilmiah. Di tahun 1900, semua ini dianggap pasti, sekalipun dalam Kongres Intenasional para ahli matematik yang diadakan tahun itu, David Hilbert mengajukan satu daftar yang berisi 23 masalah matematik yang paling penting, yang belum terselesaikan. Sejak saat itu, segala sesuatunya telah menjadi semakin rumit, sampai titik di mana dimungkinkan bagi kita untuk berbicara tentang sebuah krisis riil dalam matematika teoritik. Dalam bukunya yang banyak dibaca orang, Mathematics: The Loss of Certainty, yang diterbitkan di tahun 1980, Morris Klein menggambarkan situasinya sebagai berikut:
"Hasil-hasil dari awal abad ke-19, geometri yang aneh dan aljabar yang aneh, telah memaksa para ahli matematika, walau mereka ogah-ogahan dan penuh gerutu, untuk menyadari bahwa matematika dan hukum-hukumnya bukanlah kebenaran. Mereka menemukan, contohnya, bahwa beberapa geometri yang berbeda dapat bersesuaian dengan pengalaman spasial dengan sama baiknya. Tidak mungkin semuanya adalah kebenaran. Kelihatannya disain matematik bukanlah sesuatu yang inheren di alam, atau jika memang demikian, matematika yang dibuat manusia tidak harus menjadi penjabaran dari disain itu. Kunci pada realitas telah hilang. Kesadaran ini adalah bencana pertama yang menimpa matematika."Penciptaan atas geometri dan aljabar baru ini menyebabkan para ahli matematik mengalami kejutan yang berbeda lagi sifatnya. Keyakinan bahwa mereka menggenggam kebenaran telah merasuki diri mereka sedemikian rupa sehingga mereka dengan tergesa-gesa telah mengunci hal-hal yang nampak sebagai kebenaran ini sekalipun hal ini tidak memiliki argumen yang cukup kokoh. Kesadaran bahwa matematik bukanlah wujud dari kebenaran mengguncang keyakinan mereka dalam apa yang telah mereka hasilkan, dan mereka segera memeriksa kembali ciptaan-ciptaan mereka. Mereka kecewa setelah menemukan bahwa logika matematik ternyata berada dalam keadaan yang menyedihkan."
Pada awal abad ke-20, mereka berangkat untuk mencoba menyelesaikan masalah-masalah yang belum terselesaikan, membuang kontradiksi-kontradiksi, dan mengembangkan sistem matematik baru yang kebal salah. Seperti yang dijelaskan Klein:
"Sampai tahun 1900 para ahli matematik percaya bahwa mereka telah mencapai tujuan mereka. Sekalipun mereka harus puas dengan matematik sebagai pendekatan penggambaran atas alam dan banyak yang bahkan telah meninggalkan kepercayaan pada disain alam yang matematik, mereka masih juga menepuk dada atas rekonstruksi mereka atas struktur logika matematik. Tapi sebelum mereka selesai saling mengucapkan selamat atas apa yang mereka anggap sebagai keberhasilan, kontradiksi-kontradiksi ditemukan pula pada matematika baru hasil rekonstruksi itu. Umumnya kontradiksi ini dinyatakan sebagai paradoks, satu eufimisme yang menghindari berhadapan dengan fakta bahwa kontradiksi telah mencemari logika matematik."Resolusi atas kontradiksi-kontradiksi itu diupayakan hampir-hampir seketika itu juga oleh para ahli matematik paling terkemuka dan para filsuf pada masa itu. Sebagai akibatnya, lahirlah empat pendekatan berbeda atas matematik, masing-masing mendapat banyak pengikut. Aliran-aliran mendasar ini semua berupaya tidak hanya untuk menyelesaikan kontradiksi yang dikenal tapi juga memastikan bahwa tidak ada kontradiksi baru yang akan muncul, yaitu, untuk menegakkan konsistensi dari matematika. Lain persoalan muncul dalam upaya-upaya ini. Apakah kita dapat menerima beberapa aksiom dan prinsip logika deduktif juga menjadi kerangka dari perdebatan di mana berbagai aliran yang ada mengambil posisi yang berbeda-beda."
Upaya untuk menyingkirkan kontradiksi dari matematik hanya membawa kontradiksi lain yang baru dan tak terpecahkan. Pukulan pamungkas dilancarkan di tahun 1930, ketika Kurt Gödel menerbitkan teoremanya yang terkenal, yang memprovokasi sebuah krisis, bahkan mempertanyakan metode dasar dari matematika klasik:
"Bahkan sampai 1930 seorang ahli matematika mungkin puas dengan menerima salah satu dari beberapa pondasi matematika dan menyatakan bahwa bukti-bukti matematiknya setidaknya bersesuaian dengan tenet dari aliran itu. Tapi bencana datang lagi dalam bentuk paper ternama dari Kurt Gödel di mana ia membuktikan, di antara hasil-hasil lain yang penting dan mengguncangkan, bahwa prinsip logika yang diterima oleh beberapa aliran tidak dapat membuktikan konsisten matematika. Ini, ditunjukkan oleh Gödel, tidak dapat dilakukan tanpa melibatkan prinsip logika yang demikian meragukan sehingga kita dapat mempertanyakan seluruh hasilnya. Teorema Gödel merupakan sebuah rintangan. Perkembangan selanjutnya justru membawa komplikasi lebih jauh. Contohnya, bahkan metode aksiomatik-deduktif yang dihargai sangat tinggi di masa lalu sebagai satu-satunya pendekatan terhadap pengetahuan eksakta kini dilihat sebagai penuh cacat. Dampak netto dari perkembangan baru ini adalah penambahan terhadap varian kemungkinan pendekatan terhadap matematika dan membagi para ahli matematika ke dalam jumlah faksi yang lebih besar daripada sebelumnya."[x]
Titik impas dari matematika telah menghasilkan sejumlah faksi dan aliran yang berbeda, yang satu tidak mau menerima teori yang lain. Terdapat kaum Platonis (ya, betul, Platonis), yang menganggap matematik sebagai kebenaran mutlak ("Tuhan adalah seorang ahli matematika"). Ada kaum Konseptualis, yang konsepsinya tentang matematik sepenuhnya berbeda dari kaum Platonis, tapi sebenarnya hanya antara idealisme subjektif dan idealisme objektif. Mereka melihat matematika sebagai serangkaian struktur, pola dan simetri yang telah diciptakan orang untuk kepentingan rangkaian itu sendiri - dengan kata lain, matematika tidak memiliki basis objektif, tapi murni hasil dari pikiran manusia! Teori ini nampaknya populer di Inggris.
Lalu kita memiliki aliran Formalis, yang dibentuk di awal abad ke-20, dengan tujuan khusus untuk menyingkirkan kontradiksi dari matematika. David Hilbert, salah satu pendiri aliran ini, melihat matematika sebagai sekedar sebuah rekayasa simbol menurut aturan tertentu untuk menghasilkan sebuah sistem pernyataan tautologis, yang memiliki konsistensi internal, tapi tanpa makna lain sama sekali. Di sini matematika direduksi menjadi satu permainan intelektual, seperti catur - lagi-lagi satu pendekatan yang sepenuhnya subjektif. Aliran Institusional setara keteguhannya untuk memisahkan matematika dari realitas objektif. Sebuah rumus matematik, menurut orang-orang ini, tidak seharusnya menyatakan apapun yang hadir independen dari tindakan perhitungan itu sendiri. Hal ini telah dibandingkan pada upaya Bohr untuk menggunakan penemuan mekanika kuantum untuk memasukkan pandangan bahwa kuantitas fisik dan matematik adalah tercerai dari realitas objektifnya.
Semua aliran ini memiliki satu hal yang sama, satu pendekatan yang sepenuhnya idealis terhadap matematika. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa para neo-Platonis adalah idealis objektif, yang berpikir bahwa matematika berasal dari pikiran Tuhan, dan yang lainnya - institusionalis, formalis dan konseptualis - percaya bahwa matematika adalah ciptaan subjektif dari pikiran manusia, lepas dari segala kepentingan objektifnya. Ini, dengan demikian, adalah pemandangan menyedihkan yang disajikan oleh aliran-aliran utama matematika pada dasawarsa terakhir dari abad ke-20. Tapi ini masih belum merupakan kata tamat bagi kisah ini.
Chaos dan Complexity
Di tahun-tahun terakhir, keterbatasan dari model-model matematika untuk menyatakan proses alam yang riil di alam telah menjadi subjek dari diskusi yang intensif. Persamaan diferensial, misalnya, menyatakan realitas sebagai sebuah kontinuum, di mana perubahan dalam ruang dan waktu terjadi secara mulus dan tanpa terputus. Tidak ada ruang di sini bagi patahan-patahan mendadak dan perubahan kualitatif. Namun justru hal ini yang sesungguhnya terjadi di alam nyata. Penemuan kalkulus diferensial dan integral di abad ke-18 merupakan satu kemajuan besar. Tapi model matematika yang paling maju sekalipun hanyalah satu pendekatan kasar terhadap realitas, hanya sahih dalam batas-batas tertentu. Perdebatan yang mutakhir tentang chaos dan anti-chaostelah berpusat pada area yang melibatkan patahan-patahan dalam kontinuitas, perubahan "chaotic" mendadak yang tidak dapat cukup baik digambarkan oleh rumus-rumus matematika klasik.
Perbedaan antara keteraturan dan chaos terjadi karena hubungan yang linear dan yang non-linear. Satu hubungan yang linear adalah hubungan yang mudah digambarkan secara matematik: ia dapat dinyatakan dalam satu atau lain bentuk sebagai garis dalam sebuah grafik. Matematiknya mungkin kompleks, tapi jawabannya dapat dihitung dan dapat diperkirakan. Satu hubungan yang non-linear, adalah hubungan yang tidak dapat dengan mudah diselesaikan secara matematik. Tidak ada garis grafik yang dapat menggambarkannya. Hubungan non-linear dalam sejarahnya memang sulit atau bahkan mustahil diselesaikan dan mereka sering diabaikan begitu saja sebagai kesalahan eksperimental. Merujuk pada eksperimen yang terkenal dengan pendulum, James Gleick menulis bahwa keteraturan yang dilihat oleh Galileo hanyalah satu pendekatan. Perubahan sudut dari pergerakan benda yang berayun menghasilkan satu non-linearitas kecil dalam persamaannya. Pada amplitudo kecil, kesalahan ini hampir-hampir tidak kelihatan. Tapi ia ada di sana. Untuk mendapatkan hasil yang mulus, Galileo harus mengabaikan non-linearitas yang ia ketahui terdiri dari gesekan dan tahanan udara.
Banyak dari mekanika klasik dibangun seputar hubungan linear yang diabsraksi dari kehidupan riil sebagai sebuah hukum ilmiah. Karena dunia riil diatur oleh hubungan-hubungan non-liear, hukum-hukum ini seringkali tidak lebih dari sekedar pendekatan yang terus diperhalus melalui penemuan hukum-hukum "baru". Hukum-hukum ini adalah model matematika, konstruksi teoritik yang satu-satunya pembenarannya terletak pada pemahaman yang mereka berikan dan kegunaan mereka dalam pengendalian kekuatan-kekuatan alam. Dalam duapuluh tahun terakhir revolusi dalam teknologi komputer telah mengubah situasi dengan memungkinkan pengerjaan matematika non-linear. Karena alasan inilah kini telah dimungkinkan, di beberapa fakultas dan lembaga riset yang terpisah, bagi para ahli matematika dan ilmuwan lain untuk menghitung sistem "chaotic" yang tidak dapat dihitung di masa lalu.
Buku Gleick, Chaos, Making a New Science menggambarkan bagaimana sistem yang chaotic dapat diperiksa oleh periset yang berbeda dengan menggunakan model matematik yang berbeda-beda, dan dengan semua telaah menunjuk pada kesimpulan yang sama: bahwa ada "keteraturan" di dalam apa yang semula dianggap sebagai "kekacauan" murni. Kisah ini dimulai dengan telaah atas pola cuaca, dalam sebuah simulasi komputer, oleh seorang ahli meteorologi Amerika, Edward Lorenz. Dengan menggunakan pertama-tama duabelas, selanjutnya hanya tiga peubah dalam hubungan yang non-linear, Lorenz sanggup menghasilkan dalam komputernya satu deret kondisi yang kontinyu, yang terus-menerus berubah, tapi secara eksplisit tidak pernah mengulang kondisi yang sama dua kali. Dengan menggunakan matematika yang sederhana, ia telah menciptakan "chaos".
Dimulai dengan parameter apapun yang dipilih Lorenz sendiri, komputernya akan secara mekanik mengulangi kalkulasi yang sama berulang kali, namun tidak akan pernah menghasilkan hasil yang sama. "Aperiodisitas" ini (yaitu, ketiadaan satu siklus yang teratur) adalah ciri dari semua sistem chaos. Pada saat bersamaan, Lorenz mencatat bahwa sekalipun hasilnya selalu berbeda, setidaknya di situ ada ditunjukkan satu "pola" yang seringkali muncul: kondisi yang mirip dengan apa yang diamati sebelumnya, sekalipun keduanya tidak pernah persis sama. Hal ini bersesuaian, tentu saja, pada pengalaman tiap orang atas cuaca riil, kalau diperbandingkan dengan yang dihasilkan simulasi komputer: ada "pola" tapi tidak ada dua hari atau dua minggu yang persis sama satu dengan lainnya.
Lain-lain ilmuwan telah pula menemukan "pola" dalam sistem yang nampaknya merupakan chaos, yang demikian berbeda seperti telaah atas orbit galaksi dibandingkan dengan model matematik bagi naik-turunnya perekonomian. Dalam kasus-kasus ini dan lainnya, catat Gleick, terdapat "petunjuk akan adanya struktur di tengah apa yang kelihatannya merupakan perilaku yang acak." Semakin jelas bahwa sistem chaos tidak harus merupakan sistem yang tidak stabil, atau dapat bertahan dalam waktu yang tidak berbatas. Apa yang dikenal sebagai "bintik merah" yang terlihat di permukaan Yupiter adalah satu contoh dari sistem yang chaos yang kontinyu dan stabil. Lebih jauh lagi, bintik merah itu telah disimulasikan dalam telaah komputer dan model laboratorium. Maka, "satu sistem kompleks dapat melahirkan turbulensi dan kohesi pada saat yang bersamaan." Sementara itu, lain-lain ilmuwan telah menggunakan model matematik yang berbeda untuk menelaah gejala yang sama chaos-nya di dalam bidang biologi. Salah satu secara khusus membuat telaah matematik tentang perubahan populasi di bawah berbagai kondisi yang berbeda. Peubah standard yang akrab dengan para ahli biologi digunakan dengan beberapa hubungan yang dikomputasikan sebagai, seperti halnya keadaan alaminya, non-linear. Non-linearitas ini dapat bersesuaian, misalnya, pada satu ciri unik dari berbagai spesies yang dapat didefinisikan sebagai satu kecenderungan untuk berkembang biak, kemampuan mereka "untuk bertahan hidup".
Hasilnya dinyatakan dalam sebuah grafik yang memplot ukuran populasi, pada sumbu tegak , terhadap nilai dari komponen-komponen non-linear, pada sumbu datar. Ditemukan bahwa semakin non-linearitas dipentingkan - dengan meningkatkan parameter tersebut - maka nilai populasi akan bergerak melalui beberapa tahap yang berbeda. Di bawah satu tingkat krusial tertentu, populasi tidak dapat dipertahankan dan, di manapun titik startnya ditentukan, kepunahan adalah keniscayaan. Garis pada grafik sekedar berjalan melalui satu jalur mendatar yang bersesuaian pada populasi nol.
Tahap berikutnya adalah tahap steady state, digambarkan secara grafis sebagai sebuah garis tunggal dalam kurva naik. Ini setara dengan populasi yang stabil, pada satu tingkat yang tergantung pada kondisi awalnya. Dalam tahap berikutnya terdapat dua populasi yang berbeda tapi tetap, dua keadaan stabil. Hal ini diperlihatkan sebagai satu percabangan dalam grafik, atau satu "bifurcation". Hal ini akan setara dalam populasi riil pada satu naik-turun periodik, dalam siklus dua tahunan. Ketika tingkatan non-linearitas dinaikkan lagi, terdapat peningkatan tajam dalam bifurcation, pertama pada kondisi yang bersesuaian dengan empat keadaan stabil (berarti siklus reguler empat tahunan), dan dengan cepat jumlah cabang bertambah menjadi 8, 16, 32 dan seterusnya.
Maka, di dalam satu rentang nilai yang pendek dari parameter non-linear, berkembanglah satu situasi yang, untuk keperluan-keperluan praktis, dapat dianggap tidak memiliki keadaan stabil atau memiliki periodisitas yang dapat dikenali - populasi itu telah menjadi "chaos". Telah ditemukan juga bahwa jika non-linearitas ditingkatkan lebih jauh sepanjang tahap chaos, akan terjadi masa-masa di mana keadaan stabil nampaknya kembali, berdasarkan siklus 3 atau 7 tahun, tapi pada tiap kasus langsung menghilang lagi sejalan dengan peningkatan non-linearitas, menjadi percabangan lebih lanjut mewakili siklus 6, 12 dan 24 tahun pada kasus pertama, atau 14, 28 dan 56 tahun pada kasus kedua. Maka, dengan ketepatan matematik, dimungkinkan untuk membuat model atas sebuah perubahan dari stabilitas dengan salah satu tingkat regularitas, perilaku yang stabil atau periodik, menjadi satu keadaan yang acak atau aperiodik, untuk semua kegunaan terukurnya.
Ini mungkin merupakan satu resolusi atas perdebatan di dalam bidang ilmu populasi antara para teoritisi yang percaya bahwa variasi populasi yang tak teramalkan adalah sebuah penyimpangan dari "norma-norma kondisi stabil" dan lain orang yang percaya bahwa keadaan stabil adalah penyimpangan dari "keadaan chaos". Interpretasi yang berbeda ini mungkin lahir karena periset yang berbeda pada dasarnya telah "mengiris" satu bagian vertikal dari grafik itu, yang bersesuaian dengan hanya satu nilai non-linearitas tertentu. Maka, satu spesies dapat menunjukkan satu norma kestabilan atau naik-turun periodik, sementara spesies yang lain menunjukkan keragaman chaos. Perkembangan dalam bidang biologi ini adalah petunjuk lain, seperti penjelasan Gleick, bahwa "chaos adalah stabil, terstruktur." Hasil-hasil yang mirip telah pula ditemukan dalam berbagai gejala yang berbeda. "Chaos yang deterministik ditemukan dalam catatan-catatan tentang epidemi cacar yang terjadi di New York dan dalam fluktuasi yang terjadi selama 200 tahun dalam populasi lynx [kucing gunung] Kanada, seperti yang tercatat oleh para pemburu di Hudson's Bay Company." Dalam setiap kasus proses chaos ini, telah ditunjukkan adanya satu "penggandaan periode" yang merupakan satu ciri dari model matematik khusus ini.
Fraktal Mandelbrot
Salah satu pelopor lain dari teori chaos, Benoit Mandelbrot, seorang ahli matematika dari IBM, menggunakan teknik matematik yang lain lagi. Dalam kapasitasnya sebagai seorang periset IBM, ia mencari - dan menemukan - "pola" dalam beragam proses "acak" alamiah. Ia menemukan, misalnya, bahwa suara gemerisik ["noise"] yang melatarbelakangi transmisi telepon, mengikuti satu pola yang sepenuhnya tidak dapat diramalkan, atau chaos, tapi jelas dapat didefinisi dengan baik secara matematik. Dengan menggunakan komputer di IBM, Mandelbrot sanggup menghasilkan sistem chaos secara grafik, bahkan dengan menggunakan aturan-aturan matematik yang paling sederhana. Gambar-gambar ini, yang dikenal sebagai "himpunan Mandelbrot", menunjukkan satu kompleksitas yang tak berhingga, dan ketika sebuah gambar komputer diperbesar untuk mendapatkan detil yang lebih besar, variasi yang besar dan nampaknya tak berbatas itu itu diteruskan.
Himpunan Mandelbrot telah dipaparkan sebagai objek atau model matematik yang mungkin paling kompleks yang pernah dilihat orang. Namun, di dalam arsitektur ini, masih terus ada pola. Dengan terus-menerus "memperbesar" skala dan mencari detil yang semakin lama semakin halus (sesuatu yang dapat dilakukan tanpa batas oleh komputer karena seluruh struktur itu didasarkan pada satu himpunan aturan matematik tertentu) dapat dilihat bahwa ada pengulangan teratur - kemiripan-kemiripan - pada skala yang berbeda-beda. "Tingkat ketidakberaturan" sama pada skala yang berbeda-beda. Mendelbrot menggunakan istilah "fraktal" untuk menggambarkan pola yang terlihat di dalam ketidakberaturan itu. Ia sanggup membangun berbagai bentuk fraktal, dengan sedikit mengubah aturan matematiknya. Maka ia sanggup menghasilkan satu simulasi komputer atas sebuah garis pantai yang, pada tiap skala (yaitu, pada perbesaran berapapun), selalu menunjukkan tingkatan "ketidakberaturan" yang sama, atau "crinkliness".
Mendelbrot membandingkan sistemnya, yang diinduksi oleh komputer itu, pada berbagai contoh geometri yang juga merupakan bentuk-bentuk fraktal, mengulang pola yang sama lagi dan lagi dalam berbagai skala. Dalam apa yang disebut Spons Menger, misalnya, luas permukaan di dalamnya mendekati ketakberhinggaan, sementara volume padat aktualnya mendekati nol. Di sini, kelihatannya tingkat ketakberaturan bersesuaian dengan "efisiensi" spons itu dalam mengisi ruang. Hal ini mungkin bukan hal yang terlalu mengada-ada seperti kelihatannya karena, seperti yang ditunjukkan Mandelbrot, terdapat banyak contoh geometri fraktal secara alamiah. Pencabangan pipa udara untuk membuat dua bronkila [unsur penyusun batang tenggorok] dan pengulangan percabangan itu sampai tingkat saluran udara yang sangat kecil di dalam paru-paru, mengikuti satu pola yang dapat ditunjukkan sebagai fraktal. Dengan cara yang sama dapat pula ditunjukkan bahwa pencabangan urat darah berbentuk fraktal. Dengan kata lain, ada satu "kemiripan-diri", satu pola pencabangan geometrik berulang, pada skala apapun pengamatan itu dilakukan.
Contoh-contoh geometri fraktal di alam hampir-hampir tidak berbatas dan dalam bukunya, The Fractal Geometry, Mendelbrot berusaha menunjukkan hal itu. Telah ditemukan bahwa spektrum timing detak jantung normal mengikuti satu hukum fraktal, mungkin disebabkan oleh pengaturan fraktal dari urat syaraf dalam otot jantung. Hal yang sama terjadi pula pada kedipan mata cepat tanpa sadar yang menjadi salah satu ciri schizoprenia. Maka, matematika fraktal kini digunakan secara rutin dalam berbagai ragam bidang ilmiah, termasuk fisiologi dan berbagai disiplin yang berbeda jauh sekali bidang pengamatannya, seperti telaah tentang gempa bumi atau metalurgi.
Namun, petunjuk lain tentang basis chaos yang deterministik telah ditunjukkan dalam telaah-telaah tentang peralihan fase dan dengan penggunaan apa yang disebut oleh para pembuat model matematik sebagai "penarik" ["attractor"]. Terdapatlah banyak contoh dari peralihan fase ini. Ia dapat berarti perubahan dari aliran mulus "laminar" dari satu cairan menuju aliran yang turbulen, transisi dari padat ke cair ke gas, atau perubahan dari satu sistem dari konduktivitas ke "superkonduktivitas". Peralihan fase ini mungkin memiliki konsekuensi yang krusial dalam disain dan konstruksi teknologi. Sebuah pesawat, misalnya, akan kehilangan daya angkat jika aliran udara laminar pada sayap menjadi turbulen; sebagaimana pula tekanan yang dibutuhkan untuk memompa air akan tergantung apakah aliran air dalam pipa turbulen atau tidak.
Penggunaan diagram-diagram skala-fase dan attractor merupakan satu lagi instrumen matematik yang telah menemukan berbagai jenis penerapan dalam sistem yang nampaknya acak. Seperti dalam kasus telaah chaos yang lain, telah ditemukan pula berbagai bentuk pola umum, dalam hal ini "attractor aneh" dalam beragam program riset, termasuk osilasi listrik, dinamika fluida dan bahkan penyebaran bintang dalam cluster globular. Semua jenis instrumen matematik ini - penggandaan periode; geometri fraktal; attractor aneh - dikembangkan dalam waktu yang berbeda-beda oleh periset yang berbeda pula untuk menyelidiki dinamika chaos. Tapi semua hasilnya menunjuk pada arah yang sama: bahwa ada satu keteraturan matematik yang mendasar dalam apa yang sampai saat ini selalu dianggap sebagai peristiwa acak.
Seorang ahli matematika, Mitchell Feigenbaum, dengan menyatukan beberapa jalur yang telah ditempuh orang, telah mengembangkan apa yang disebutnya "teori universal" dari chaos. Seperti yang dikatakan Gleick, "ia percaya bahwa teorinya menyatakan satu hukum alam yang berlaku pada sistem yang berada persis pada keadaan di antara keteraturan dan turbulensi ... universalitasnya bukan hanya kualitatif, melainkan kuantitatif ... ia diperluas bukan hanya pada pola melainkan pada bilangan-bilangan eksak."
Kaum Marxis akan melihat di sini satu kemiripan dengan hukum dialektika yang dikenal sebagai peralihan dari kuantitas menjadi kualitas. Ide ini menggambarkan peralihan antara satu periode perkembangan yang kurang-lebih bertahap, ketika perubahan dapat diukur atau "dikuantifikasi", dan periode berikutnya, di mana perubahan telah terjadi secara "revolusioner", di mana ada "lompatan", bahwa seluruh "kualitas" sistem telah diubah. Penggunaan Gleick atas istilah ini dengan makna yang mirip adalah petunjuk lain tentang jalan yang kini tengah ditempuh secara tertatih-tatih oleh ilmu pengetahuan menuju dialektika materialistik.
Point sentral tentang ilmu baru itu adalah bahwa ia berurusan dengan dunia seperti adanya: satu sistem dinamis yang selalu berubah. Matematik klasik yang linear adalah logika formal yang berurusan dengan kategori-kategori yang tetap dan tak berubah. Ia cukup baik sebagai sebuah pendekatan, tapi ia tidaklah mencerminkan realitas. Namun, dialektika adalah logika tentang perubahan, tentang proses dan karenanya ia merupakan satu hal yang lebih maju daripada formalisme. Dengan cara yang sama, matematika chaos adalah satu langkah maju dari ilmu yang terdahulu, yang agak "tidak riil", yang mengabaikan ketidakberaturan hidup yang tidak nyaman ini.
Kuantitas dan Kualitas
Ide tentang peralihan kuantitas ke kualitas terdapat secara implisit dalam matematika modern pada telaah tentang kontinuitas dan diskuontinuitas. Telaah ini telah hadir sebagai cabang baru geometri, topologi, yang diciptakan di tahun-tahun awal abad ke-20 oleh ahli matematika besar Perancis, Jules Henry Poincaré (1854-1912). Topologi adalah sebuah matematika tentang kontinuitas. Seperti yang dijelaskan Ian Stewart:
"Kontinuitas adalah telaah tentang perubahan yang mulus dan gradual, ilmu tentang hal yang tak terputus. Diskontinuitas adalah mendadak, dramatik; tempat-tempat di mana perubahan kecil pada kausal dapat menghasilkan perubahan yang teramat besar pada akibatnya."[xi]
Matematika ala buku teks standard memberikan satu kesan yang keliru tentang bagaimana dunia ini sebenarnya berlangsung, bagaimana alam sebenarnya bekerja. "Intuisi matematik yang telah berkembang," tulis Robert May, "tidak cukup kuat untuk membekali para siswa untuk menghadapi perilaku aneh yang ditunjukkan oleh sistem non-linear yang paling sederhana sekalipun."[xii]Sementara geometri sekolah dasar mengajari kita untuk menganggap segi empat, lingkaran, segitiga dan jajaran genjang sebagai hal-hal yang sepenuhnya berbeda satu sama lain, dalam topologi ("geometri karet"), semua itu dianggapsebagai hal yang sama. Geometri tradisional mengajarkan bahwa lingkaran tidak dapat dibuat menjadi persegi empat, namun dalam topologi tidak demikian halnya. Garis batas yang kaku diruntuhkan: satu persegi empat dapat diubah ("deformasi") menjadi satu lingkaran. Sekalipun terdapat kemajuan-kemajuan spektakular dalam ilmu pengetahuan di abad ke-20, tetap saja mengejutkan jika kita melihat bahwa sejumlah besar dari apa yang nampaknya hanyalah gejala yang sederhana saja ternyata belumlah dapat dipahami secara tepat dan belum dapat dinyatakan dalam persamaan matematik, misalnya, cuaca, aliran fluida, turbulensi. Bentuk-bentuk geometri klasik tidaklah cukup untuk menyatakan permukaan yang sangat kompleks dan iregular seperti yang ditemui di alam, seperti yang ditunjukkan oleh Gleick:
"Topologi menelaah ciri-ciri yang tinggal tak berubah ketika berbagai bentuk dideformasi dengan memuntir atau memelarkan atau memerasnya. Apakah bentuk itu bulat atau persegi, besar atau kecil, tidaklah relevan bagi topologi, karena pemelaran dapat mengubah ciri-ciri tersebut. Para ahli topologi mempermasalahkan apakah bentuk-bentuk itu saling berhubungan, apakah ia memiliki lubang, apakah ia memiliki simpul. Mereka membayangkan permukaan bukan dalam satu, dua, atau tiga dimensi seperti jagad Euclides, tapi dalam ruang banyak dimensi, yang mustahil divisualkan. Topologi adalah sebuah geometri dari lembaran karet. Ia lebih berurusan dengan kualitas daripada kuantitas."[xiii]
Persamaan diferensial berurusan dengan tingkat perubahan posisi. Ini lebih sulit dan kompleks daripada apa yang nampak sekilas. Banyak persamaan diferensial tidak dapat dipecahkan sama sekali. Persamaan-persamaan ini dapat menggambarkan gerak, tapi hanya sebagai perubahan posisi yang mulus, dari satu titik ke titik yang lain, tanpa interupsi atau lompatan mendadak. Namun, di alam, perubahan tidak hanya terjadi dengan cara ini. Masa-masa perubahan yang lambat, bertahap dan tidak terputus, tiba-tiba disela oleh belokan tajam, patahan dalam kontinuitas, ledakan, bencana. Fakta ini dapat digambarkan oleh sejumlah tak berhingga contoh yang bersifat organik dan anorganik, sejarah masyarakat dan sejarah pemikiran manusia. Dalam persamaan diferensial, waktu dianggap terbagi dalam serangkaian "time-step" yang sangat kecil. Ini memberi satu pendekatan atas realitas, tapi pada kenyataannya tidak ada "step" semacam itu. Seperti yang dinyatakan Heraclitus, "segala sesuatu mengalir."
Ketidakmampuan matematika tradisional untuk menangani persoalan kualitatif sebaik kemampuannya menangani yang kuantitatif merupakan satu pembatasan yang amat ketat. Di dalam batas tertentu, kita dapat menggunakannya dengan cukup baik. Tapi ketika perubahan kuantitatif yang bertahap tiba-tiba runtuh, dan menjadi "chaos", istilah yang modern untuk kejadian ini, persamaan linear dari matematika klasik tidak lagi mencukupi. Inilah titik awal bagi matematika non-linear baru, yang dipelopori oleh Benoit Mendelbrot, Edwaard Lorenz dan Mitchell Feigenbaum. Tanpa mereka menyadarinya, mereka tengah mengikuti jejak Hegel, yang garis pengukuran nodal-nya menyatakan ide yang sama persis, ide yang merupakan sumbu bagi dialektika.
Sikap baru terhadap matematika ini merupakan satu reaksi terhadap kebuntuan aliran-aliran matematika yang sekarang ada. Mandelbrot pernah menjadi anggota dari aliran matematik Formalisme dari Perancis yang dikenal sebagai kelompok Bourbaki, yang menganjurkan pendekatan yang murni abstrak, berangkat dari satu prinsip awal dan mendeduksi segalanya dari situ. Mereka benar-benar banggga akan fakta bahwa karya mereka tidak memiliki sesuatupun hubungan dengan ilmu pengetahuan atau dunia nyata. Tapi jaman komputer memasukkan satu unsur yang sama sekali baru pada situasinya. Ini satu lagi contoh bagaimana perkembangan teknik merupakan syarat perlu bagi perkembangan ilmu pengetahuan. Sejumlah besar komputasi yang kini dapat dibuat dengan menekan sebuah tombol memungkinkan penemuan pola-pola dan keberaturan di tempat-tempat yang semula hanya menunjukkan gejala yang acak dan chaos.
Mandelbrot mulai dengan menyelidiki gejala yang tak terjelaskan dari dunia alami, seperti apa yang nampak sebagai semburan interferensi acak dalam transmisi gelombang radio, banjir di sungai Nil, dan krisis pasar saham. Ia menyadari bahwa matematika tradisional tidaklah cukup kuat untuk menangani gejala-gejala semacam itu. Dalam penyelidikannya terhadap ketakberhinggaan di abad yang lalu, Gerge Cantor menciptakan satu himpunan yang dinamai menurut namanya. Himpunan ini melibatkan satu garis yang dibagi menjadi titik yang jumlahnya tak berhingga ("debu" Cantor) yang total panjangnya adalah 0. Kontradiksi yang demikian mewujud ini merisaukan banyak ahli matematika abad ke-19, namun ia justru menjadi titik berangkat bagi teori baru Mandelbrot tentang matematika fraktal, yang memainkan peran kunci dalam teori chaos:
"Diskontinuitas, semburan noise, debu Cantor," papar Gleick, "- gejala seperti ini tidak mendapat tempat dalam geometri selama 2.000 tahun terakhir. Bentuk-bentuk geometri klasik adalah garis dan bidang, lingkaran dan bola, segitiga dan kerucut. Mereka merupakan abstraksi yang dahsyat atas realitas, dan mereka telah mengilhami filsafat keserasian Plato yang dahsyat itu. Euclides membuat dari bentuk-bentuk ini satu geometri yang bertahan selama dua milenia, mungkin bagi banyak orang itulah satu-satunya geometri yang pernah mereka pelajari. Aristoteles menemukan satu keindahan ideal di dalamnya. Tapi untuk memahami kompleksitas, bentuk-bentuk ini ternyata merupakan jenis abstraksi yang keliru."[xiv]
Semua ilmu pengetahuan melibatkan satu tingkat abstraksi dari dunia realitas. Masalah dengan pengukuran klasik ala Euclid, yang menangani panjang, lebar dan tinggi, adalah bahwa ia gagal menangkap hakikat dari bentuk-bentuk tak beraturan yang ditemukan dalam dunia nyata. Ilmu matematika adalah ilmu tentang besaran. Abstraksi dari geometri Euclides mengabaikan semua hal kecuali sisi kuantitatifnya. Realitas direduksi menjadi bidang, garis dan titik. Namun, abstraksi matematika, sekalipun ada klaim-klaim sombong yang dibuat atas namanya, tetaplah sebuah pendekatan kasar terhadap dunia nyata, dengan bentuk-bentuknya yang tak berarturan dan perubahan-perubahannya baik yang konstan maupun yang mendadak. Mengutip penyair Romawi, Horace, "Anda boleh mengusir Alam dengan tombak, tapi ia akan berlari kembali menghampiri Anda." James Gleick menggambarkan perbedaan antara matematika klasik dan teori chaos dengan cara demikian:
"Awan bukanlah bola, Mandelbrot gemar sekali mengatakan itu. Gunung bukanlah kerucut. Petir tidak berjalan dalam garis lurus. Geometri baru ini mencerminkan satu jagad yang kasar, bukan mulus, penuh bercak, bukan halus. Ia adalah geometeri dari yang berlubang, yang penuh becak, dan patah-patah, yang terpuntir, yang terbelit, dan yang terjalin. Pemahaman tentang kompleksitas alam melahirkan satu kecurigaan bahwa kompleksitas itu bukan sekedar sesuatu yang acak, atau suatu kebetulan belaka. Ia menuntut satu kepercayaan bahwa ciri aneh dari jalur yang ditempuh oleh kilatan petir, misalnya, bukanlah terletak pada arahnya namun pada distribusi zig-zagnya. Karya Mandelbrot membuat satu klaim tentang dunia, dan klaim itu sedemikian sehingga bentuk-bentuk aneh itu semua memiliki makna. Lubang dan belitan lebih dari sekedar cacat dari bentuk-bentuk klasik geometri Euclides. Seringkali mereka justru menjadi kunci untuk memahami hakikat benda-benda."[xv]
Hal-hal ini dilihat sebagai penyimpangan yang mengerikan oleh matematika tradisional. Tapi bagi seorang yang berpikir dialektik, mereka justru menunjukkan bahwa satu kesatuan dari yang berhingga dan yang tak berhingga, sebagaimana dalam keterbagian tak berhingga dari materi, dapat dinyatakan dalam persamaan matematik. Ketakberhinggaan ada di alam nyata. Jagad ini besar tak berhingga. Materi dapat dibagi menjadi partikel-partikel yang semakin lama semakin kecil tak berhingga. Maka, semua ocehan mengenai "awal alam semesta" dan pencarian atas "batu penyusun materi" dan "partikel pamungkas" didasarkan pada asumsi-asumsi yang sama sekali keliru. Keberadaan ketakberhinggaan dalam matematika hanyalah sekedar cerminan dari fakta ini. Pada saat yang bersamaan, merupakan satu kontradiksi dialektik ketika jagad yang besar tak berhingga ini terdiri dari benda-benda yang berhingga. Maka, keberhinggaan dan ketakberhinggaan menyusun satu kesatuan dialektik dari hal-hal yang bertentangan. Yang satu tidak dapat hadir tanpa yang lain. Pertanyaannya kemudian adalah apakah jagad ini berhingga atau tak berhingga. Jagad ini keduanya: berhingga dan sekaligus tak berhingga, seperti yang telah dijelaskan Hegel sejak dahulu.
Kemajuan ilmu pengetahuan modern telah memungkinkan kita untuk menjelajah semakin dalam ke dalam dunia material. Pada tiap tahap, telah dilakukan upaya untuk "meniup peluit", untuk mendirikan batas, dikatakan bahwa mustahil kita melangkah ke luar batas itu. Tapi, pada tiap tahap pula batasan itu dirubuhkan, terungkaplah gejal-gejala baru yang menakjubkan. Tiap akselerator partikel yang lebih baru dan lebih kuat telah mengungkap partikel yang baru dan semakin kecil, yang hadir dalam waktu yang semakin lama skalanya semakin kecil juga. Tidak ada alasan untuk beranggapan bahwa situasinya akan berbeda dalam hubungannya dengan quark, yang pada saat ini dianggap sebagai partikel yang terakhir yang akan ditemukan manusia.
Mirip dengan itu, upaya untuk menetapkan awal jagad raya dan awal "waktu" akan terbukti sebagai memburu bayang-bayang. Tidak ada batasan bagi jagad material, dan semua upaya untuk menetapkan batasan baginya niscaya akan gagal. Hal yang paling menggairahkan tentang teori chaos adalah bahwa ia merupakan satu penolakan atas abstraksi yang mandul dan menara gading reduksionisme, dan merupakan satu upaya untuk kembali kepada alam dan dunia pengalaman sehari-hari. Dan jika matematika ingin mendapati dirinya sebagai cerminan dari alam, ia harus mulai menyingkirkan sifatnya yang sepihak dan mengambil satu dimensi yang sama sekali baru, yang menyatakan segala yang dinamis dan kontradiktif, dengan kata lain, ciri dialektik dari dunia nyata.
[i] Aristoteles, Metaphysics, pp. 123, 251 dan 253.
[ii] T. Hobbes, Leviathan, p. 14.
[iii] A. Hooper, Makers of Mathematics, p. 4-5.
[iv] Engels, Anti-Dühring, p. 154.
[v] B. Hoffmann, The Strange Story of Quantum, p. 95.
[vi] A. Hooper, op. cit., p. 237.
[vii] Engels, The Dialectics of Nature, p. 341-2.
[viii] Hegel, The Science of Logic, p. 257.
[ix] Engels, Anti-Dühring, p. 63.
[x] Dikutip dalam T. Ferris, The World Treasury of Physics, Astronomy and Mathematics, pp. 521-2 dan 522-3.
[xi] I. Steward, Does God Play Dice?, p. 63.
[xii] Dikutip dalam J. Gleick, Chaos, Making a New Science, p. 80.
[xiii] Gleick, op. cit., p. 46,
[xiv] Ibid., p. 94.
[xv] Loc. cit.
